一次函数是初中学段函数章节所学第一个也是最简单的一个函数模型，是初中学段学好函数章节的敲门砖和铺路石一次函数思维导图。因而，学习一次函数所获得一些经验和解题方法，可以直接作用于后续的函数模型：反比例函数/二次函数，甚至高中学段的幂函数/指数函数/对数函数等。本文与其说是在回答解答一次函数题时的一些注意事项（不是技巧，也没有那么多功利性的技巧，只是常规常法，通法。）倒不如说是在为后续学习其他函数模型，提供借鉴和参考。因而，我们可以通过这个回答，把眼光放大到整个函数章节，而不仅仅局限于解答一次函数题。

一。关于一次函数的概念【举例1】下列图示揭示x，y之间关系属于一次函数的是（ ）

分析：仅从“形”看，三个图形都是“直（折）线”型，知识点：一次函数的图象是直线！

但其逆命题未必为真，也就是说，图象（形）是直（折）线的，不一定是一次函数哟！

图A，压根就不是函数关系，当然更谈不上一次函数了。存在一个特定的x的值，对应两个不同y值的情形，俗称“一对多”，而“一对多”在函数概念中是被禁止的！

图C，是函数，但不是一次函数。图中不同x的取值，都有y的值与之对应，并且这些y值都是相等的（没有变化），因而是常函数，即y=k（k为常数）形式。

图B，是函数，并且是一次函数，是分段函数。图中从折线的“拐点”处分段，“拐点”的两侧分别对应不同的表达式，但两个表达式都符合y=kx+b的形式。

所以举例1的正确答案：图B

综述：一次函数的图象是直线，但图象是直线的函数不一定一次函数！

二。关于一次函数表达式【举例2】已知A(1,-5/2),B(-2,13/2),C(6,m)三点共线，求m的值。

分析：理解三点共线的含义：由已知点A，B确定直线AB，则点C必在直线AB上。直线AB是一次函数，设其表达式为y=kx+b，用待定系数法，可以求出k，b，进而求出直线AB的表达式；再将x=6代入该表达式，即可求出m的值。

实际操作：设直线AB的表达式为y=kx+b，依题意得方程组-5/2=k+b，13/2=-2k+b

解得k=-3，b=1/2，

因而直线AB为y=-3x+1/2，

又因为A,B,C三点共线，所以点C在直线AB：y=-3x+1/2上，

因而当x=6时，m=-3×6+1/2=-71/2

综述：1.三点共线，即第三点一定在前两个点所确定的直线上；

2.点在直线上（直线过某点），即点的坐标满足直线的表达式；

3.确定一次函数的表达式，只需要两个已知点（两组对应值）；

4.求一次函数的表达式，用待定系数法解决。

三。关于一次函数的实际应用【举例3】某工厂建有一大型蓄水池用于生产。蓄水池有进、出水管各一个，每晚注满水，从上午8点时开始供水，当水池低于某水位时，进水管开始自动注水，水池的水量y（立方米）与时间x（时）之间的关系如图所示。

（1）根据图象提供的信息写出蓄水池最大蓄水量，并计算出水管每小时的流量；

（2）18时工厂停止生产后，蓄水池只注水，求此阶段y与x的函数关系式，并求将水池注满水时x的值。

分析：这是一道解决实际问题的应用题，表面看涉及到一次函数，其实不必生搬硬套待定系数法。利用数形结合，通过读图，理解问题背景的三个量：进（出）水量，进（出）水速度，时间三者之间关系：进（出）水速度=水量/时间，

进而根据题目所给时间进行分段，逐段弄清进出水的情况，利用算术方法即可解决。

实际操作：如下图所示

AB段：y=500，0≤x≤8 水已注满，蓄水量最大500立方米；

BC段：y=500－【（500－100）/（16－8）】（x－8）

=900－50x，8＜x≤16

在BC段，工厂开工用水，水量只出不进，逐渐减少，

出水管的出水速度=（500－100）/（16－8）=50立方米/时；

CD段： y=100＋【（200－100）/（18－16）】（x－16）

=50x－700，16＜x≤18

进水管开始自动注水，出水管还在出水，此段水量有进有出，进水量大于出水量，

进出水的速度差=（200－100）/（18－16）=50立方米/时，

所以进水速度=出水速度＋50=50＋50=100立方米/时；

DE段：停工注水，只进不出，将水池注满（500立方米）需要增加300立方米，进水速度=100立方米/时

所以注满水池的时间=300/100=3小时，注满水的时刻x=18＋3=21时

综述：1.分析清楚每个时间段进出水的情况，是决定本题成败的关键；

2.死板套用待定系数法还是直接用算术方法解决，是考查一次函数知识点是否学活的试金石。

四。关于一次函数与几何的综合【举例4】在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是边BC的高，点E在高AD上（点E不与A，D重合），过点E作FG∥BC，分别交两边AB，AC 于点F，G，连结DG，过点F作FH∥DG，交边BC于点H.已知BC=12，设AE=x，在点E的运动过程中，FG，DE随x的变化的图象如图29-2所示（直线的一部分），根据图29-1，图29-2提供的信息解决下列问题：

（1）求AD的值；

（2）求x的取值范围，并求当x为何值时，四边形FGDH的面积最大，最大面积是多少？（3）求AB，AC的值.

分析：这是一道典型数形结合，代数与几何结合的动点问题，有一定的难度。突破点：

1.在点E运动过程中，有两个事实：其一，△AFG∽△ABC；其二，平行四边形FGDH；

2.结合图形和图象，发现一些特殊点（位置），解决特殊线段的长。

实际操作：

（1）由图29-2可知，当AE=2时，DE=4，所以，AD=AE+DE=2+4=6；

因而，AD = m =6.

FG∥BC→∠AFG∠=ABC，∠BAC=∠BAC=>△AFG∽△ABC=>AE:AD=FG:BC =>FG=12AE/AD，即yFG=x，

由图29-1得，当x=2时，yFG=4，∴4=2k，即k=2，∴yFG=2x，

∴12/AD=2，即AD=6;

（2）由图29-1可知，

∵AD=AE+DE，∴DE=AD－AE，即yDE=6－x，

∴m=6，由图29-2可知，0<x≤n，

结合图形分析得知，

当AE=x=n时，H点刚好与点B重合，此时HD=FG=BD，

设FG与x的函数关系式为yDE=kx，

∵当x=2时，yFG=4，∴4=2k，即k=2，∴yDE=2x，

∵当x=n时，yFG=m=6，∴6=2n，即n=3，∴0<x≤3；

∵FG∥BC，DG∥FH， ∴平行四边形FGDH，

∴平行四边形FGDH的面积 =FG×DE=2x（6－x）=－2（x^2－6x）=－2（x^2－6x+9－9）=－2（x－3）^2+18≤18，

∴四边形FGDH面积的最大值为18，此时，x=3，

即AE=3，即E为AD的中点时，面积最大为18.

（3）由（2）可知，当x=3时，H点刚好与点B重合，此时HD=FG=BD=m=6= BC，

∴D为BC的中点，又AD⊥BC，∴AB=AC，又∠BAC=90°，

∴由勾股定理得，AB=AC= BC/√2=12/√2=6√2.

综述：1.这类代数几何综合，数形结合的题目，利用相似及勾股定理建立数学模型，其中可能涉及到所学函数一次函数，二次函数等；

2.动点问题，特别注意几何直观的运用，关注一些特殊点/特殊位置/特殊时刻。

以上从四个方面举例说明了在解答一次函数题时的一些常规常法。列举例题综合性较强，所以有难度是肯定的，希望能对你有所启发。

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